Question

19．如图，已知矩形ABCD，AD=2，CD=5，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）无论P点在什么位置，四变形PMEN的形状一定是平行四边形；
（2）当点P运动到AB的中点时，四变形PMEN是菱形；
（3）四变形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）四边形PMEN的形状一定是平行四边形，根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．
（2）当DP=CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．
（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．

解答 解：（1）四边形PMEN的形状一定是平行四边形，
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线，
∴ME∥PC，EN∥PD，
∴四边形PMEN是平行四边形；

（2）当AP=5时，
在Rt△PAD和Rt△PBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BP}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△PAD≌Rt△PBC（HL），
∴PD=PC，
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴NE=PM=$\frac{1}{2}$PD，ME=PN=$\frac{1}{2}$PC，
∴PM=ME=EN=PN，
∴四边形PMEN是菱形；

（3）四边形PMEN可能是矩形．
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC=90°
设PA=x，PB=10-x，
DP=$\sqrt{16+{x}^{2}}$，CP=$\sqrt{16+（10-x）^{2}}$．
DP²+CP²=DC²
16+x²+16+（10-x）²=10²
x²-10x+16=0
x=2或x=8．
故当AP=2或AP=8时，四边形PMEN是矩形．

点评 本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质．