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如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯形DEFH(HF∥DE,∠HDE=90°)的底边DE落在CB上,腰DH落在CA上,且DE=4,∠DEF=∠CBA,AH:AC=2:3
(1)延长HF交AB于G,求△AHG的面积.
(2)操作:固定△ABC,将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动,直到点D与点B重合时停止,设运动的时间为t秒,运动后的直角梯形为DEFH′(如图).
探究1:在运动中,四边形CDH′H能否为正方形?若能,请求出此时t的值;若不能,请说明理由.
探究2:在运动过程中,△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y,求y与t的函数关系.

解:(1)∵AH:AC=2:3,AC=6
∴AH=AC=×6=4
又∵HF∥DE,
∴HG∥CB,
∴△AHG∽△ACB
=,即=
∴HG=
∴S△AHG=AH•HG=×4×=

(2)①能为正方形
∵HH′∥CD,HC∥H′D,
∴四边形CDH′H为平行四边形
又∠C=90°,
∴四边形CDH′H为矩形
又CH=AC-AH=6-4=2
∴当CD=CH=2时,四边形CDH′H为正方形
此时可得t=2秒时,四边形CDH′H为正方形.
②(Ⅰ)∵∠DEF=∠ABC,
∴EF∥AB
∴当t=4秒时,直角梯形的腰EF与BA重合.
当0≤t≤4时,重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.
过F作FM⊥DE于M,=tan∠DEF=tan∠ABC===
∴ME=FM=×2=,HF=DM=DE-ME=4-=
∴直角梯形DEFH′的面积为(4+)×2=
∴y=
(Ⅱ)∵当4<t≤5时,重叠部分的面积为四边形CBGH的面积一矩形CDH′H的面积.
而S边形CBGH=S△ABC-S△AHG=×8×6-=
S矩形CDH′H?=2t
∴y=-2t.
(Ⅲ)当5<t≤8时,如图,设H′D交AB于P,
BD=8-t
=tan∠ABC=
∴PD=DB=(8-t)
∴重叠部分的面积y=S??
△PDB=PD•DB
=(8-t)(8-t)
=(8-t)2=t2-6t+24.
∴重叠部分面积y与t的函数关系式:
y=
分析:(1)由于三角形AHG和ACB相似,可通过相似比求出HG的值,然后根据三角形的面积计算公式即可求出三角形AHG的面积.
(2)①首先四边形CDH′H是个矩形,如果使四边形CDH′H成为正方形,那么需满足的条件是CD=DH′,可先根据AH:AC的值,求出HC的长即H′D的长,然后除以梯形的速度即可求出t的值.
②要分三种情况进行讨论:
一:当E在三角形ABC内部时,即当0≤t≤4时,重合部分是整个直角梯形,因此可通过计算直角梯形的面积得出重合部分的面积.
二:当E在三角形ABC外部,且H′在G点左侧或G点上时,即当4<t≤5时,重合部分是直角梯形,其面积可用:四边形CBGH的面积一矩形CDH′H的面积来求得.
三:当H′在G点右侧一直到D与B重合的过程中,即当5<t≤8时,重合部分是个直角三角形.可通过计算这个直角三角形的面积来得出关于S,t的函数关系式.
点评:本题着重考查了图形平移变换、三角形相似以及二次函数的综合应用等重要知识点,
要注意的是(2)中不确定直角梯形的位置时,要根据不同的情况进行分类讨论,不要漏解.
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(  )
A、
1
2
B、(
2
2
7
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1
4
D、
1
8

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16
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