Question

点A（4，m），B（n，-3）在直线y=x-5上．
（1）试求点A、点B坐标；
（2）若一抛物线过A，B且以y轴为对称轴，求该抛物线解析式；
（3）现有一开口向下，形状与（2）中抛物线相同的新抛物线沿x轴水平移动，交x轴于C，D两点（C左D右），且CD=3．试求当四边形ABCD周长最小时的新抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）把A，B坐标代入直线解析式即可；
（2）设出函数解析式，把A、B坐标代入；
（3）易得新抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数互为相反数．四边形ABCD的周长最小，应把已知的一个点平移3个单位，作出另一的点关于x轴的对称点，连接两个新点得到D坐标，进而求得C坐标，代入所设的两个函数解析式即可．

解答：解：（1）∵点A（4，m），B（n，-3）在直线y=x-5上，
∴m=4-5=-1，n=-3+5=2，
A（4，-1），B（2，-3）．

（2）设所求函数解析式为y=ax²+k，
那么-1=16a+k，
-3=4a+k，
解得a=

1

6

，b=-

11

3

，
∴y=

1

6

x2-

11

3

．

（3）点B向右平移3个单位得E（5，3），作A关于x轴的对称点F（4，1），直线EF与x轴的交点即D(

17

4

，0)，
再得C为(

5

4

，0)．
设y=-

1

6

x²+bx+c，
把C，D坐标代入，
可得y=-

1

6

x2+

11

12

x-

85

96

．

点评：以y轴为对称轴的函数解析式为y=ax²+k两个函数的形状相同，开口方向不同，这两个函数二次项的系数互为相反数；
求路线最短问题，应想到做其中一点的关于另两点所在直线的对称点．