Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AD平分∠BAC交BC于点P，∠BDC=60°，若AB=4，则BD的长为________．

Answer 1

2
分析：先根据△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4求出BC及AC的长度，再根据AD平分∠BAC交BC于点P可得出∠PAC及∠APC的度数，由特殊角的三角函数值可求出PC的长度，进而得出BP的长度，再根据相似三角形的判定定理得出△PBD∽△DBC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
解答：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4，
∴∠BAC=60°，BC=AB•sin60°=4×=6，AC=AB•cos60°=4×=2，
∵AD平分∠BAC交BC于点P，
∴∠PAC=30°，
∴PC=AC•tan30°=2×=2，
∴BP=BC-PC=6-2=4，
在Rt△APC中，
∵∠PAC=30°，
∴∠APC=60°，
在△PBD与△DBC中，
∵∠BPD=∠BDC=60°，∠DBP=∠DBP，
∴△PBD∽△DBC，
∴=，即=，
解得BD=2．
故答案为：2．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，能根据题意判断出△PBD∽△DBC是解答此题的关键．