Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC交AC于F．
（1）求证：AE=AG；
（2）若AD=8，BD=6，求AE的长．

Answer 1

考点：角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据直角三角形两锐角互余可得∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，从而得到∠3=∠4，再根据对顶角相等可得∠4=∠5，然后求出∠3=∠5，最后根据等角对等边证明即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再设AE=AG=x，表示出DE=8-x，再根据△ABG和△DBE相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答：（1）证明：∵BG平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5（对顶角相等），
∴∠3=∠5，
∴AE=AG；

（2）解：在Rt△ABD中，AB=

AD2+BD2

=

82+62

=10，
设AE=AG=x，
则DE=AD-AE=8-x，
∵∠1=∠2，∠BAG=∠BDE=90°，
∴△ABG∽△DBE，
∴

DE

AG

=

BD

AB

，
即

8-x

x

=

6

10

，
解得x=5，
故AE=5．

点评：本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）确定并证明三角形相似．