Question

9．已知：如图，反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y₂=x+b的图象交于点A（1，4），点B（-4，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）根据图象，试比较y₁，y₂的大小．

Answer 1

分析 （1）把点A坐标代入反比例函数求出m的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）先求出直线与x轴的交点坐标，从而x轴把△AOB分成两个三角形，结合点A、B的纵坐标分别求出两个三角形的面积，相加即可；
（3）根据函数的图象求得即可．

解答 解：（1）点A（1，4）在反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的表达式为y₁=$\frac{4}{x}$，
∵点B（-4，n）也在反比例函数y₁=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴n=$\frac{4}{-4}$=-1，
即B（-4，-1），
把点A（1，4），点B（-4，-1）代入一次函数y₂=kx+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{-4k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y₂=x+3；
故反比例函数解析式为y₁=$\frac{4}{x}$，一次函数得到解析式为y₂=x+3；

（2）设直线与x轴的交点为C，
在y₂=x+3中，当y=0时，得x=-3，
∴直线y₂=x+3与x轴的交点为C（-3，0），
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×1=7.5；

（3）当-4＜x＜0或x＞1时，y₂＞y₁；当x=1或x=-4时，y₂=y₁；当0＜x＜1或x＜-4时，y₂＜y₁．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，此类题目的求解一般都是先把已知点的坐标代入反比例函数表达式求出反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式，难度中等．