Question

如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N，P、Q分别是弧AM、弧BM上一点（不与端点重合），已知∠MNP=∠MNQ，下面结论：①∠1=∠2；②∠Q=∠PMN；③∠P+∠Q=180°；④PM=QM；⑤MN²=PN•QN．其中正确的个数有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：利用等角的余角相等得到①对．利用垂径定理，同弧所对的圆周角相等得②对．利用三角形内角和定理得③错．利用三角形相似得④错，⑤对．
解答：解：延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，
如图∵MN⊥AB，∠MNP=∠MNQ，
则∠1=∠2，故①正确；
∵AB是⊙O的直径，MN⊥AB，=，
由∠1=∠2，∠ANC=∠2，
∴∠1=∠ANC，
得P，C关于AB对称，=，=，
∴∠Q=∠PMN，故②正确；
∵∠P+∠PMN＜180°，
∴∠P+∠Q＜180°，故③错误；
∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN²=PN•QN，PM不一定等于MQ；
故④错误，⑤正确．
故选C．
点评：此题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．