Question

4．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=-x²+2x+c可求得c的值；
（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m-2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，
∴x=-$\frac{b}{2a}$=1，即$\frac{-b}{2×（-1）}$=1，解得b=2．
∴y=-x²+2x+c．
将A（2，2）代入得：-4+4+c=2，解得：c=2．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+2．
配方得：y=-（x-1）²+3．
∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．
（2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．

∵M（1，m），C（1，2），
∴MC=m-2．
∴cot∠AMB=$\frac{CM}{AC}$=m-2．
（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，
∴抛物线向下平移了3个单位．
∴平移后抛物线的解析式为y=-x²+2x-1，PQ=3．
∵OP=OQ，
∴点O在PQ的垂直平分线上．
又∵QP∥y轴，
∴点Q与点P关于x轴对称．
∴点Q的纵坐标为-$\frac{3}{2}$．
将y=-$\frac{3}{2}$代入y=-x²+2x-1得：-x²+2x-1=-$\frac{3}{2}$，解得：x=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$或x=$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$．
∴点Q的坐标为（$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q与点P关于x轴对称，从而得到点Q的纵坐标是解题的关键．