Question

13．如图，直线l经过平面直角坐标系的原点O，且与x轴正方向的夹角是30°，点A的坐标是（0，1），点B在直线l上，且AB∥x轴，则点B的坐标是（$\sqrt{3}$，1），现将△ABO绕点B顺时针旋转到△A₁BO₁的位置，使点A的对应点A₁落在直线l上，再将△A₁BO₁绕点A₁顺时针旋转到△A₁B₁O₂的位置，使点O₁的对应点O₂落在直线l上，顺次旋转下去…，则点A₆的横坐标是$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{2}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据点A的坐标是（0，1），∠ABO=30°，AB∥x轴，即可得到AB=$\sqrt{3}$，AO=1，进而得出点B的坐标；根据△ABO旋转后与直线l重合的边的长度，依次求出点A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆的横坐标，即可解决问题．

解答 解：∵点A的坐标是（0，1），∠ABO=30°，AB∥x轴，
∴AB=$\sqrt{3}$，AO=1，
∴点B的坐标为（$\sqrt{3}$，1），
由题可得，A₁的横坐标为$\frac{3}{2}$+$\sqrt{3}$，
A₂的横坐标为$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
A₃的横坐标为3+$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
A₄的横坐标为3+3$\sqrt{3}$，
A₅的横坐标为$\frac{9}{2}$+4$\sqrt{3}$，
A₆的横坐标为$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{2}\sqrt{3}$，
故答案为：（$\sqrt{3}$，1），$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{2}\sqrt{3}$．

点评 本题考查坐标与图形的变换-旋转，一次函数图形与几何变换等知识的运用，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，由规律解决问题．