Question

【题目】已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．

（1）如图①，若∠BAC=23°，求∠AMB的大小；

（Ⅱ）如图②，过点B作BD∥MA，交AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．

Answer 1

【答案】（1）∠AMB＝46°；（Ⅱ）∠AMB＝60°．

【解析】试题分析：（1）根据切线性质求出∠OBM=∠OAM=90°，根据圆周角定理求出∠COB，求出∠BOA，即可求出答案；

（2）连接AB、AD，得出平行四边形，推出MB=AD，推出AB=AD，求出等边三角形AMB，即可得出答案．

解：（1）连接OB，

∵MA、MB分别切⊙O于A、B，

∴∠OBM=∠OAM=90°，

∵弧BC对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，∠BAC=23°，

∴∠BOC=2∠BAC=46°，

∴∠BOA=180°﹣46°=134°，

∴∠AMB=360°﹣90°﹣90°﹣134°=46°．

（2）连接AD，AB，

∵BD∥AM，DB=AM，

∴四边形BMAD是平行四边形，

∴BM=AD，

∵MA切⊙O于A，

∴AC⊥AM，

∵BD∥AM，

∴BD⊥AC，

∵AC过O，

∴BE=DE，

∴AB=AD=BM，

∵MA、MB分别切⊙O于A、B，

∴MA=MB，

∴BM=MA=AB，

∴△BMA是等边三角形，

∴∠AMB=60°．