Question

如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E．
（1）求证：∠ABC=∠ADB；
（2）若AE=2，ED=4，求AB的长；
（3）若BD为⊙O的直径，在（2）的条件下，判断AC与BD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴弧AB=弧AC．
∴∠ABC=∠ADB．

（2）解：∵∠ABE=∠ADB，∠BAE=∠BAD，
∴△ABE∽△ADB．
∴=．
∵AE=2，AD=AE+ED=2+4=6，
∴=．
∴AB=2．

（3）解：AC∥BD．理由如下：
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°．
∵AB=2，AD=6，
∴在Rt△BAD中，tan∠BDA==．
∴∠BDA=30°．
∴∠ACB=30°．
∴∠ACB=∠ABC=30°．
∴∠BAC=120°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°．
∴∠CAD=∠BDA．
∴AC∥BD．
分析：（1）根据AB=AC，那么弧AB=弧AC，根据圆周角定理即可得出结论．
（2）可通过相似三角形得出线段成比例，然后求长度，（1）中已得出∠ABC=∠ADB，那么三角形ABE，ABE就相似（有一个公共角）．可得出关于AE、AB、AD的关系式，有AE的长，有AD的长，那么就能求出AB的长了．
（3）可从角的度数入手，根据（2）中得出的数据不难求出∠D的度数，也就求出了∠ABD、∠ACB、∠ABC的度数，然后根据计算得出∠CBD和∠ACB的度数，进行比较，看他们是否平行或是其他的什么位置关系．
点评：本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及相似三角形的知识．