Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）求作：∠BAC的角平分线AD，与BC边交于点D（不写作法，保留尺规作图痕迹）；
（2）若（1）中的AB=6，∠B=30°，求线段BD的长．

Answer 1

解：（1）如图所示，AD即为∠BAC的角平分线；

（2）∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=×60°=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD，
∵AB=6，∠B=30°，∠CAD=30°
∴AC=AB=×6=3，CD=AD，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，AC²+CD²=AD²，
即3²+AD²=AD²，
解得AD=2，
所以线段BD的长为2．
分析：（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC相交，再以两交点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与这一点作射线交BC于点D，则AD即为所求；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再根据角平分线的定义求出∠BAD=∠CAD=30°，从而得到∠B=∠BAD，根据等角对等边的性质可得AD=BD，根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，求出AC=AB，CD=AD，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理列式求解即可．
点评：本题考查了角平分线的性质，勾股定理，直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，根据角度的度数得到∠B=∠BAD再根据等角对等边的性质得到AD=BD是解题的关键．