Question

已知方程x²+（a-3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是______．

Answer 1

设f（x）=x²+（a-3）x+3，问题等价于 f（x）有一个零点在（1，2）内
根据二次方程根的分布，这等价于 f（1）•f（2）＜0
即[1+（a-3）+3]•[4+（a-3）2+3]＜0，
也即（a+1）•（2a+1）＜0
解得-1＜a＜-

1

2

．
当△=0时，即b²-4ac=0，
∴（a-3）2-12=0，
∴a=2

3

+3或-2

3

+3，
∵恰有一个解大于1小于2，
∵当a=2

3

+3时，x=-

3

（舍）
∴当a=2

3

+3不合题意，
当a=3-2

3

时，x=

3

，符合题意，
故答案为：-1＜a＜-

1

2

或a=3-2

3

．