Question

7．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE=30°，DE=4，求这个矩形的周长．

Answer 1

分析 先由四边形ABCD是矩形，得出∠A=∠B=90°，AD=BC．再解Rt△ADE，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=$\frac{1}{2}$DE=2，那么AD=$\sqrt{3}$AE=2$\sqrt{3}$．利用同角的余角相等得出∠BEC=∠ADE=30°，再解Rt△BEC，得到BE=$\sqrt{3}$BC=6，那么AB=AE+BE=8，然后根据矩形ABCD的周长=2（AB+AD）即可求解．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC．
在Rt△ADE中，∵∠A=90°，∠ADE=30°，DE=4，
∴AE=$\frac{1}{2}$DE=2，AD=$\sqrt{3}$AE=2$\sqrt{3}$．
∵DE⊥CE，∠A=90°，
∴∠BEC=∠ADE=90°-∠AED=30°．
在Rt△BEC中，∵∠B=90°，∠BEC=30°，BC=AD=2$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{3}$BC=6，
∴AB=AE+BE=2+6=8，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=2（8+2$\sqrt{3}$）=16+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，余角的性质，求出AB与AD的长是解题的关键．