Question

二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），下列说法：
①若b²-4ac=0，则抛物线的顶点一定在x轴上；
②若b=a+c，则抛物线必经过点（-1，0）；
③若a＜0，且一元二次方程ax²+bx+c=0有两根x₁，x₂（x₁＜x₂），则ax²+bx+c＜0的解集为x₁＜x＜x₂；
④若b=3a+

c

3

，则方程ax²+bx+c=0有一根为-3．
其中正确的是

 

（把正确说法的序号都填上）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：代数综合题

分析：令y=0，利用根的判别式判定顶点在x轴上，令x=-1求出a、b、c的关系式，判断②正确；a＜0时，抛物线开口向下，根据二次函数的增减性写出不等式的解集，判断③错误；把已知等式整理得到a、b、c的关系式，然后判断出x=-3，从而得到④正确．

解答：解：令y=0，则ax²+bx+c=0，
∵b²-4ac=0，
∴抛物线与x轴只有一个交点，即顶点一定在x轴上，故①正确；
x=-1时，a-b+c=0，
∴b=a+c，
∴b=a+c，则抛物线必经过点（-1，0）正确，故②正确；
a＜0时，二次函数y=ax²+bx+c图象开口向下，
ax²+bx+c＜0的解集为x＜x₁或x＞x₂，故③错误；
∵b=3a+

c

3

，
∴9a-3b+c=0，
∴a（-3）²+b（-3）+c=0，
∴方程ax²+bx+c=0有一根为-3，故④正确．
综上所述，正确的是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数与x轴的交点问题，利用二次函数图象求解一元二次不等式，利用特殊值法确定函数值，综合题，但难度不大．