Question

已知点E是边长为2的正方形ABCD的AB边的延长线上一点，P为边AB上的一个动点（不与A、B重合），直线PF⊥PD，∠EBC的平分线与PF交于点Q．
（1）如图1，当P为AB的中点时，求PD的长，并比较PD与PQ长的大小；
（2）如图2，在点P运动过程中，PD与PQ长的大小关系会发生变化吗？为什么？
（3）设PB=x，△BPQ和△PAD的面积分别是S₁、S₂，又y=，试求y与x之间的函数关系式，并判断y随PB的变化而怎样变化？

Answer 1

解：（1）当P为AB的中点时，PA=1，AD=2，
由勾股定理PD==．
如图，取AD中点M，连PM，则DM=PB=1，AM=AP=1，
∴∠AMP=45°，∴∠PMD=135°．
∵BQ为直角∠EBC的角平分线，∴∠QBE=45°，∴∠PBQ=135°．
∴∠PBQ=∠DMP
又∵PF⊥PD，∠DPA+∠FPH=90°
在Rt△PAD中∠DPA+∠PDA=90°，∴∠PDM=∠QPB
∴△PDM≌△QPB，∴PD=PQ
（2）在点P运动过程中，PD=PQ仍然成立．
证明：在点P运动过程中，设BP=x（0＜x＜2），则PA=2-x≠0，
同样，在AD取点N，使DN=PB=x，则NA=PA=2-x，连PN，则△PAN为等腰直角三角形，故
∠PNA=45°
∴∠PND=135°，
∴∠PND=∠QBP．
又由（1）知∠QPB=∠PDN，
∴△PDN≌△QPB，
∴PD=PQ．

（3）作QH⊥AB于H，则Rt△PDA≌Rt△QPH，即QH=PA=2-x，
∴
又
∴y=
故知y随PB的增大而减小（或减小而增大）．
分析：（1）PA=1，AD=2，由勾股定理PD=，取AD中点M，连PM，则DM=PB=1，AM=AP=1可通过求得∠PBQ=∠DMP，∠PDM=∠QPB证明△PDM≌△QPB继而推出PD=PQ．
（2）在点P运动过程中，设BP=x（0＜x＜2），则PA=2-x≠0，在AD取点N，使DN=PB=x，则NA=PA=2-x，连PN，则△PAN为等腰直角三角形，求出∠PND=∠QBP再由（1）知∠QPB=∠PDN所以可证明△PDN≌△QPB?PD=PQ
（3）根据（2）表示出S₁=PB×QH、S₂=AP×AD，y===，所以Y随PB的变大而减小．
点评：本题主要考查三角形的全等及正方形的性质，注意在变化中寻找不变，深挖条件．