Question

7．如图，在等边△ABC中，直线AM为△ABC的对称轴，点M在BC上．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．

（1）∠CAM=30°；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质：等边三角形的每一个内角都等于60°，且AM是对称轴进行求解；
（2）根据等边三角形的性质，可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质得出∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）需要分三种情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵AM为△ABC的对称轴，
∴线段AM为BC边上的中线，
∴∠CAM=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠CAM=30°．
故答案为：30；

（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ADC和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；

（3）∠AOB是定值60°．
理由如下：①当点D在线段AM上时，如图1，
由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE=∠CAD=30°，
又∠ABC=60°，
∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°，
∵∠BAM=∠BAC-∠CAM=30°，
∴∠BOA=90°-30°=60°．
②当点D在线段AM的延长线上时，如图2，
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD=30°，
又∵∠BAM=30°，
∴∠BOA=90°-30°=60°．
③当点D在线段MA的延长线上时，如图3，
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD，
又∵∠CAM=30°，
∴∠CBE=∠CAD=150°，
∴∠CBO=30°，∠BAM=30°，
∴∠BOA=90°-30°=60°．
综上所述，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，且∠AOB=60°．

点评 本题属于几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，等式的性质以及全等三角形的判定及性质的综合运用，解答时证明三角形全等是关键．解题时注意：全等三角形的对应角相等；等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．