Question

16．观察以下等式：
1×2=$\frac{1}{3}$×1×2×3
1×2+2×3=$\frac{1}{3}$×2×3×4
1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5
1×2+2×3+3×4+4×5=$\frac{1}{3}$×4×5×6
…
（1）仿照上面写出：1×2+2×3+3×4+4×5+5×6=$\frac{1}{3}×5×6×7$
（2）直接写出结果：1×2+2×3+3×4+…+9×10=330
（3）计算：1×2+2×3+3×4+4×5+…+n（n+1）

Answer 1

分析 （1）根据所给等式发现1×2+2×3+3×4+4×5+5×6=$\frac{1}{3}×5×6×7$，可得结果；
（2）根据所给等式发现1×2+2×3+3×4+…+9×10=$\frac{1}{3}$×9×10×11，计算可得结果；
（3）根据所给等式发现1×2+2×3+3×4+4×5+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．

解答 解：（1）由已知得，1×2+2×3+3×4+4×5+5×6=$\frac{1}{3}×5×6×7$；

（2）由已知得，1×2+2×3+3×4+…+9×10=$\frac{1}{3}$×9×10×11=330；

（3）由已知得，1×2+2×3+3×4+4×5+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．．
故答案为：$\frac{1}{3}×5×6×7$；330．

点评 本题主要考查了数字的变化规律和有理数的混合运算，发现规律，运用规律是解答此题的关键．