Question

8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（2，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）在y轴上是否存在一点M，使△MAB的面积和平行四边形ABDC的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若点P在线段BD上运动（不与B，D重合），连接PC，PO，试探究△CDP与△BOP的面积和的取值范围；
（3）若点P在第一、四象限，且在直线BD上运动，请直接写出∠CPO，∠DCP，∠BOP的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先求出平行四边形ABDC的面积，设出点M的面积，得出△MAB的面积为$\frac{3}{2}$|m|=6即可得出结论；
（2）先求出直线BD解析式，求出点P的横坐标的方法，利用图形面积的和差得出△CDP与△BOP的面积和即可得出结论；
（3）分三种情况利用平行线的性质和三角形的外角的性质即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，∵A（-10），B（2，0），
∴AB=3，
由平移得，C（0，2），D（3，2），
∴S_{平行四边形ABDC}=AB•OC=3×2=6，
设点M（0，m），
∴OM=|m|，
∴S_△MAB=$\frac{1}{2}$AB•OM=$\frac{1}{2}$×3|m|=$\frac{3}{2}$|m|，
∵△MAB的面积和平行四边形ABDC的面积相等，
∴$\frac{3}{2}$|m|=6，
∴m=±4，
∴M（0，4）或（0，-4）；

（2）如图2，
过点P作PF⊥AB于F，交CD于E，
由平移知，CD∥AB，
∴PE⊥CD，
∵B（2，0），D（3，2），
∴直线BD的解析式为y=2x-4，
设P（a，2a-4），
∴OF=a，
∵点P在线段BD上，
∴2＜a＜3
∴S_△CDP+S_△BOP=S_梯形OBDC-S_△COP=$\frac{1}{2}$（OB+CD）×OC-$\frac{1}{2}$OC×OF=$\frac{1}{2}$（2+3）×2-$\frac{1}{2}$×2×a=5-a，
∴2＜S_△CDP+S_△BOP＜3；

（3）①当点P在线段BD上时，如图3，
延长OP交CD的延长线于E，
由平移知，CD∥OB，
∴∠BOP=∠CEP，
∴∠CPO=∠DCP+∠CEP=∠DCP+∠BOP，

②当点P在BD延长线上时，如图4，
同①得，∠CEO=∠POB，
∵∠CEO=∠DCP+∠CPO，
∴∠POB=∠DCP+∠CPO；



③当点P在DB延长线上时，如图5，
同②得，∠DCP=∠POB+∠CPO．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平移的性质，平行四边形的面积公式，三角形，梯形的面积公式，平行线的性质，三角形外角的性质，待定系数法，解（1）的关键是求出平行四边形的面积，解（2）的关键是利用面积和差得出面积，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题．