Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=

5

4

x+m的图象与x轴交于A（-1，0），与y轴交于点C．以直线x=2为对称轴的抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）的函数表达式．
（2）设点D（0，

25

12

），若F是抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C₁于M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）两点，试探究

1

M1F

+

1

M2F

是否为定值？请说明理由．
（3）将抛物线C₁作适当平移，得到抛物线C₂：y₂=-

1

4

（x-h）²，h＞1．若当1＜x≤m时，y₂≥-x恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题,一元二次方程的应用,两点间的距离公式

专题：压轴题

分析：（1）只需将A点坐标代入一次函数关系式即可求出m值，利用待定系数法和二次函数的图象与性质列出关于a、b、c的方程组求出a、b、c的值就可求出二次函数关系式；
（2）先运用轴对称的性质找到点F的坐标，再运用一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出M₁M₂、M₁F、M₂F，证出M₁F•M₂F=M₁M₂，最后可求

1

M1F

+

1

M2F

=1；
（3）设y₂与y=-x的两交点的横坐标分别为x₀，x₀，因为抛物线C₂：y₂=-

1

4

（x-h）²可以看成由y=-

1

4

x²左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x₀，x₀的值不断增大，所以当1＜x≤m，y₂≥-x恒成立时，m最大值在x₀处取得，根据题意列出方程求出x₀，即可求解．

解答：解：（1）∵一次函数y=

5

4

x+m的图象与x轴交于A（-1，0）
∴0=-

5

4

+m
∴m=

5

4

．
∴一次函数的解析式为y=

5

4

x+

5

4

．
∴点C的坐标为（0，

5

4

）．
∵y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、C两点且对称轴是x=2，
∴

a-b+c=0 c= 5 4 - b 2a =2

，解得

a=- 1 4 b=1 c= 5 4

∴y=-

1

4

x²+x+

5

4

．
∴m的值为

5

4

，抛物线C₁的函数表达式为y=-

1

4

x²+x+

5

4

．

（2）要使△ADF的周长取得最小，只需AF+DF最小
连接BD交x=2于点F，因为点B与点A关于x=2对称，
根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF最小．
令y=-

1

4

x²+x+

5

4

中的y=0，则x=-1或5
∴B（5，0）
∵D（0，

25

12

）
∴直线BD解析式为y=-

5

12

x+

25

12

，
∴F（2，

5

4

）．
令过F（2，

5

4

）的直线M₁M₂解析式为y=kx+b₁，
则

5

4

=2k+b₁，∴b₁=

5

4

-2k
则直线M₁M₂的解析式为y=kx+

5

4

-2k．
解法一：
由

y=kx+ 5 4 -2k y=- 1 4 x2+x+ 5 4

得x²-（4-4k）x-8k=0
∴x₁+x₂=4-4k，x₁x₂=-8k
∵y₁=kx₁+

5

4

-2k，y₂=kx₂+

5

4

-2k
∴y₁-y₂=k（x₁-x₂）
∴M₁M₂=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2)2+k2(x1-x2)2

 
=

1+k2

(x1-x2)2

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(4-4k)2+32k

=4（1+k²） 
M₁F=

(x1-2)2+(y1- 5 4 )2

=

(x1-2)2+(kx1+ 5 4 -2k- 5 4 )2

=

1+k2

(x1-2)2

同理M₂F=

1+k2

(x2-2)2

∴M₁F•M₂F=（1+k²） 

(x1-2)2(x2-2)2

=（1+k²）

[x1x2-2(x1+x2)+4]2

=（1+k²）

[-8k-2(4-4k)+4]2

=4（1+k²）=M₁M₂  
∴

1

M1F

+

1

M2F

=

M1F+M2F

M1F•M2F

=

M1M2

M1F•M2F

=1；
解法二：
∵y=-

1

4

x²+x+

5

4

=-

1

4

（x-2）²+

9

4

，
∴（x-2）²=9-4y
设M₁（x₁，y₁），则有（x₁-2）²=9-4y₁．
∴M₁F=

(x1-2)2+( 5 4 -y1)2

=

( 5 4 -y1)2+9-4y1

=

13

4

-y₁；
设M₂（x₂，y₂），同理可求得：M₂F=

13

4

-y₂．
∴

1

M1F

+

1

M2F

=

M1F+M2F

M1F•M2F

=

( 13 4 -y1)+( 13 4 -y2)

( 13 4 -y1)•( 13 4 -y2)

=

13 2 -(y1+y2)

169 16 - 13 4 (y1+y2)+y1y2

    ①．
直线M₁M₂的解析式为y=kx+

5

4

-2k，即：y-

5

4

=k（x-2）．
联立y-

5

4

=k（x-2）与抛物线（x-2）²=9-4y，得：
y²+（4k²-

5

2

）y+

25

16

-9k²=0，
∴y₁+y₂=

5

2

-4k²，y₁y₂=

25

16

-9k²，代入①式，得：

1

M1F

+

1

M2F

=

4k2+4

4k2+4

=1．


（3）设y₂与y=-x的两交点的横坐标分别为x₀，x₀′，
∵抛物线C₂：y₂=-

1

4

（x-h）²可以看成由y=-

1

4

x²左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x₀，x₀′的值不断增大
∴当1＜x≤m，y₂≥-x恒成立时，m最大值在x₀′处取得
∴当x₀=1时，对应的x₀′即为m的最大值
将x₀=1代入y₂=-

1

4

（x-h）²=-x得（1-h）²=4，
∴h=3或-1（舍）
将h=3代入y₂=-

1

4

（x-h）²=-x有
-

1

4

（x-3）²=-x
∴x₀=1，x₀′=9．
∴m的最大值为9．

点评：本题主要考查运用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点距离公式的综合运用，对计算要求较高．