Question

12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为（1，-1），B（1，1），C（-1，1）、D（-1，-1），曲线AA₁A₂A₃A₄…叫做“正方形的渐开线”，其中$\widehat{A{A}_{1}}$，$\widehat{{A}_{1}{A}_{2}}$，$\widehat{{A}_{2}{A}_{3}}$，$\widehat{{A}_{3}{A}_{4}}$，…的圆心依次是点B，C，D，A循环，则点A₂₀₁₆的坐标是（1，-4033）．

Answer 1

分析 由题意可知，正方形的 边长为2，每旋转一次边长增加2，每次旋转的角度为90°，在第一象限的纵坐标为，在第二象限的横坐标为-1，在第三象限的纵坐标为-1，在第四象限的横坐标为1，其余坐标除符号变化之外，±[4+2（n-1）]±1．

解答 由题意可知：正方形的边长2，
∵A（1，-1），B（1，1），C（-1，1）、D（-1，-1）
A₁（4-1，1），A₂（-1，6-1），A₃（-8+1，-1），A₄（1，-10+1）
 A₅（12-1，1），A₆（-1，14-1），A₇（-16+1，-1），A₈（1，-18+1）
…
 A₂₀₁₆ （1，-[4+（2016-1）×2]+1）；
即：A₂₀₁₆ 的坐标是（1，-4033）．

点评 本题考查了直角坐标系内点的坐标运动变化规律，解题的关键是理解A点的坐标除符合变化之外，还由旋转半径确定，而且每旋转一次半径增加2．