Question

如图10所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB＝4。将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上。

（1）在图10所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长。

（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0<t<3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）当t（0<t<3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标。

         图10

Answer 1

解（1）

　　　　

　　　 据题意，△AOE≌△ADE

　　　 ∴OE＝DE，∠ADE＝∠AOE＝90⁰，AD＝AO＝3

　　　 在Rt△AOB中，

　　　

　　　 设DE＝OE＝x

　　　 在Rt△BED中

　　　 BD²＋DE²＝BE²

　　 　即2²＋x²＝（4－x）²

　　　 解得

　　　 ∴E（0，）

　　　 在Rt△AOE中

　　　

（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE＝90⁰

∴四边形PMND是矩形

∵AP＝t×1＝t

∴PD＝3－t

∵△AMP∽△AED

∴

∴PM＝

∴

∴或

当时

（3）△ADM为等腰三角形有以下二种情况

①当MD＝MA时，点P是AD中点

∴

∴（秒）

∴当时，A、D、M三点构成等腰三角形

过点M作MF⊥OA于F

∵△APM≌△AFM

∴AF＝AP＝，MF＝MP＝

∴OF＝OA－AF＝3－

∴M（，）

②当AD＝AM＝3时

△AMP∽△AED

∴

∴

∴

∴（秒）

∴当秒时，A、D、M三点构成等腰三角形

过点M作MF⊥OA于F

∵△AMF≌△AMP

∴AF＝AP＝，FM＝PM＝

∴OF＝OA－AF＝3－

∴M（，）