Question

如图，在△ABC中，BC＞AC，⊙O分别切BC、AC于E、F，D是线段BE上的一点，AD交⊙O于P、Q两点，即AP=DQ，求证：∠B=∠DAC-∠DAB．

Answer 1

证明：过点O作OH⊥AD于点H，连接OA，OD，OE，OF，
∴PH=QH，
∵AP=DQ，
∴AH=DH，
∴OA=OD，
∵⊙O分别切BC、AC于E、F，
∴CF=CE，OE⊥BC，OF⊥AC，
即∠AFO=∠DEO=90°，
在Rt△AOF和Rt△DOE中，
，
∴Rt△AOF≌Rt△DOE（HL），
∴AF=DE，
∴AC=DC，
∴∠ADC=∠DAC，
∴∠B=∠ADC-∠DAB=∠DAC-∠DAB．
分析：首先过点O作OH⊥AD于点H，连接OA，OD，OE，OF，由垂径定理可得AH=DH，又由切线长定理，可得CF=CE，易证得Rt△AOF≌Rt△DOE，可得AF=DE，继而证得AC=DC，即可证得结论．
点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、垂径定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．