Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE=AB，OD=2 .

（1）求∠CDB的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比.
①求弦CE的长；
②在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：(1)∵AB是⊙O的直径，DE=AB，              ∴OA=OC=OE=DE. 则∠EOD=∠CDB， ∠OCE=∠OEC.                 设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x.                又∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°.                 ∴x+2x=108，x=36°.                 ∴∠CDB=36°； （2）①∵∠COB=108°，∴∠COD=72°. 又∠OCD=2x=72°，              ∴∠OCD=∠COD.∴OD=CD.              ∴△COD是黄金三角形. ∴.               ∵OD=2，∴OC=-1，                ∵CD=OD=2，DE=OC=-1，                ∴CE=CD-DE=2-(-1)=3-； . ②存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3（如图所示）. ⅰ）以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、 CD得到点P1、P2 . ⅱ）以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合.