Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（　　）

• A． △ABC≌△CDB
• B． S_△ABD=S_△ADF
• C． ∠ADB=∠CDF
• D． ∠DBF＞∠BDF

Answer 1

分析 由矩形的性质得出AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，由SAS证明△ABC≌△DCB，得出A正确；
由△ABD的面积=$\frac{1}{2}$矩形ABCD的面积，△ADF的面积=$\frac{1}{2}$矩形ABCD的面积，得出B正确；
由A、B、C、D四点共圆，得出∠1＞∠2，由AB＜AD，得出$\widehat{CD}＜\widehat{AD}$，得出∠DBF＜∠2，由角的互余关系得出∠2=∠3，∠1＞∠3，得出∠DBF＞∠BDF，得出D正确；
C不正确；即可得出结论．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，
在△ABC和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠ABC=∠DCB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴A正确；
∵△ABD的面积=$\frac{1}{2}$矩形ABCD的面积，△ADF的面积=$\frac{1}{2}$矩形ABCD的面积，
∴△ABD的面积=△ADF的面积，
∴B正确；
当F为BC的中点时，∠BAF=∠CDF，
∵∠ADB=∠BAF，
∴∠ADB=∠CDF，
但题目中没有条件得出F为BC的中点，
∴∠ADB=∠CDF不一定成立，
∴C不正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴A、B、C、D四点共圆，AB=CD，
∴∠1＞∠2，
∵AB＜AD，
∴CD＜AD，
∴$\widehat{CD}＜\widehat{AD}$，
∴∠DBF＜∠2，
∵AF⊥BD，
∴∠BEF=∠DEF=90°，∠2=∠3，
∴∠1＞∠3，
∴∠DBF+∠3=∠1+∠BDF=90°，
∴∠DBF＞∠BDF，
∴D正确；
故选：C．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．