Question

（本题满分10分）

如图，已知OA⊥OB，OA＝8，OB＝6，以AB为边作矩形ABCD，使AD＝a，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．
（1）求证：△OAB∽△EDA；                               
（2）当a为何值时，△OAB与△EDA全等？并求出此时点C到OE的距离．

Answer 1

（1）证明：

∵OA⊥OB，∴∠1与∠2互余，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90^o，
∴∠2与∠3互余，∴∠1＝∠3，……………………… 2分
∵OA⊥OB，DE⊥OA，∴∠BOA＝∠DEA＝90^o………3分
∴△OAB∽△EDA．………………………………………4分
（2）解：当a＝10时，△OAB与△EDA全等．……………5分
过点C作CH⊥OE交OE于点H，则CH就是点C到OE的距离，过点B作BF⊥CH交CH于点F，……… 6分

∵AD=AB，∴矩形ABCD为正方形，
∴BC＝AB，∠BOA＝∠CBA＝90^o，
∵OA⊥OB，CH⊥OA，∴OB∥CH，
∴∠FBO＝∠CFB，
∵BF⊥CH，∴∠FBO＝90^o，
∴∠4与∠5互余，∠1与∠5互余，∴∠1＝∠4，
∵∠BFC＝∠BOA，BC＝AB，……………………………………………………… 8分
∴△OAB≌△FCB，……………………………………………………………………9分
∴CF＝OA＝8，BO＝BF，∴四边形OHFB为正方形，
∴HF＝OB＝6，∴点C到OE的距离CH＝CF+HF＝8+6＝14．………………10分

解析