Question

如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D．
（1）若AB=10，BC=6，求△BCD的周长；
（2）若BD=BC，求∠A的度数．

Answer 1

解：（1）如图，∵线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD=BD，
又∵AB=AC，
∴△BCD的周长是：BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=10+6=16，即△BCD的周长是16；

（2）∵由（1）知，AD=BD，则∠A=∠ABD．
∴∠BDC=2∠A．
又∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=2∠A．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2∠A，
∴∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后求出△BCD的周长=AC+BC，代入数据进行计算即可得解；
（2）由（1）中的AD=BD得到∠A=∠ABD；然后根据三角形外角的性质推知∠BDC=2∠A；再由等腰三角形的性质得到：∠C=∠BDC=2∠A；最后根据△ABC的内角和定理来求∠A的度数．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．