Question

已知关于x的方程（k-1）x²-6x+9=0．
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（3）若方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此方程的根．

Answer 1

分析：（1）若k=1，方程为一元一次方程，有解，满足题意；当k不等于1时，方程为一元二次方程，得到根的判别式大于等于0，且二次项系数不为0，列出不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）方程有两个不相等的实数根，得到k-1不为0，且根的判别式大于0，即可得到k的范围；
（3）方程有两个相等的实数根，得到k-1不为0，且根的判别式等于0，即可得到k的范围．

解答：解：（1）若k=1，方程为一元一次方程，有解，满足题意；
若k≠1，方程为一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴△=b²-4ac=（-6）²-36（k-1）=72-36k≥0，
解得：k≤2且k≠1，
综上，k的范围为k≤2；
（2）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（-6）²-36（k-1）=72-36k＞0，且k-1≠0，
解得：k＜2且k≠1；
（3）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（-6）²-36（k-1）=72-36k=0，且k-1≠0，
解得：k=2．
∴原方程为x²-6x+9=0，
解得x₁=x₂=3．

点评：此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．