Question

9．如图，在△ABC中，BC边上依次有B、D、E、C，AC边上依次有A、G、F，满足BD=CE=$\frac{1}{4}$BC，CF=AG=$\frac{1}{4}$AC，BF交AE于点J，交AD于I，BG交AE于点K，交AD于点H，且S_△ABC=1，求S_{四边形KHIJ}．

Answer 1

分析 作平行线GP和FM，根据平行线分线段成比例定理列比例式得：$\frac{GH}{BH}=\frac{3}{4}$，$\frac{GQ}{BE}=\frac{GK}{BK}$=$\frac{1}{12}$，从而得：BH：HK：KG=52：32：7，BI：IJ：JF=20：32：13，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可以得出S_△ABF=$\frac{3}{4}$，S_△ABG=$\frac{1}{4}$，S_△AIJ=$\frac{32}{65}$S_△ABF=$\frac{32}{65}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{24}{65}$，S_△AHK=$\frac{32}{91}$S_△ABG=$\frac{32}{91}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{8}{91}$，作差可得S_{四边形KHIJ}．

解答 解：过G作GP∥BC，交AD于P，AE于Q，则$\frac{PG}{CD}=\frac{AG}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
∵BD=$\frac{1}{4}$BC，
∴$\frac{PG}{3BD}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{PG}{BD}=\frac{3}{4}$，
∵$\frac{PG}{BD}=\frac{GH}{BH}$，
∴$\frac{GH}{BH}=\frac{3}{4}$，
同理可得：$\frac{GQ}{EC}=\frac{AG}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
即$\frac{GQ}{\frac{1}{3}BE}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{GQ}{BE}=\frac{1}{12}$，
∴$\frac{GQ}{BE}=\frac{GK}{BK}$=$\frac{1}{12}$，
∴BH：HK：KG=52：32：7，
过F作FM∥BC，交AD于M，AE于N，
同理得：BI：IJ：JF=20：32：13，
∵S_△ABC=1，
∴S_△ABF=$\frac{3}{4}$，S_△ABG=$\frac{1}{4}$，
∴S_△AIJ=$\frac{32}{65}$S_△ABF=$\frac{32}{65}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{24}{65}$，
S_△AHK=$\frac{32}{91}$S_△ABG=$\frac{32}{91}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{8}{91}$，
∴S_{四边形KHIJ}=S_△AIJ-S_△AHK，
=$\frac{24}{65}$-$\frac{8}{91}$，
=$\frac{128}{455}$．

点评 本题计算三角形和多边形面积，考查了平行线分线段成比例定理、同高三角形面积的关系，作好本题要从以下几点入手：①作平行线，②根据平行线分线段成比例定理得线段的比，③根据边的比得出面积的比．