Question

（1997•辽宁）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，连接PO并延长，与圆相交于点B、C，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于点D和E．求：
（1）⊙O的半径；
（2）sin∠BAP的值；
（3）AD•AE的值．

Answer 1

分析：（1）连接AO，求出∠BAP=∠C，证△PAB∽△PCA，得出

PA

PB

=

PC

PA

，代入求出PC即可；
（2）根据△PAB∽△PCA得出

AB

AC

=

PB

PA

=

1

2

，求出

AB

BC

=

1

5

，代入sinC=sin∠BAP求出即可；
（3）连接CE，证△ACE∽△ADB，推出AD•AE=AB•AC，根据

AB

BC

=

1

5

求出AB=3

5

，AC=2AB=6

5

，代入即可求出答案．

解答：解：（1）连接AO，
∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP=∠OAB+∠BAP=90°，
∵BC是⊙O直径，
∴∠CAB=∠CAO+∠OAB=90°，
∴∠CAO=∠PAB，
∵OC=OA，
∴∠C=∠OAC，
∴∠BAP=∠C，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴

PA

PB

=

PC

PA

，
∴

10

5

=

PC

10

，
∴PC=20，BC=15，
则半径为

15

2

；         
       
（2）∵△PAB∽△PCA，
∴

AB

AC

=

PB

PA

=

1

2

，
∵∠CAB=90°，
∴

AB

BC

=

1

5

，
∴sinC=sin∠BAP=

5

5

；
（3）连接CE，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠E=∠ABD，
∴△ACE∽△ADB，
∴

AE

AB

=

AC

AD

，
∴AD•AE=AB•AC，
∵

AB

BC

=

1

5

，BC=15，
∴AB=3

5

，AC=2AB=6

5

，
∴AD•AE=3

5

×6

5

=90．

点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的应用．