Question

（1）如图，已知△ABC中，AB=4，BC=5，AC=3，AD、AE分别是BC边上的中线和高，求△ADE各边的长．
（2）通过上题的提示，你能够用同样方法证明的结论是（　　）
A、直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半．
B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
C、Rt△ABC中，AE²=BE•CE．

Answer 1

分析：（1）由AB，BC及AC的长，计算得到AB²+AC²=BC²，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形，又AD为斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由BC的长求出AD的长，再由直角三角形的面积可以用直角边乘积的一半及斜边与斜边上高的乘积的一半来求，可求出斜边上高AE的长，在直角三角形ADE中，由AD及AE的长，利用勾股定理求出DE的长即可；
（2）由（1）求出的DE的长，利用BD+ED=BE，DC-DE=CE，可求出BE及CE的长，计算出BE•CE的值，再计算出AE²的值，发现AE²=BE•CE，即可得到正确的选项．

解答：解：（1）∵AB=4，BC=5，AC=3，
∴AB²+AC²=16+9=25，BC²=25，即AB²+AC²=BC²，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AD为斜边BC的中线，∴AD=

1

2

BC=2.5，
∵AE为BC边上的高，S_△ABC=

1

2

AC•AB=

1

2

BC•AE，
∴AE=

AC•AB

BC

=

12

5

=2.4，
在Rt△ADE中，AD=2.5，AE=2.4，
根据勾股定理得：DE=0.7；

（2）由BD=CD=2.5，DE=0.7，
得到BE=BD+DE=2.5+0.7=3.2，CE=CD-DE=2.5-0.7=1.8，
又∵AE²=2.4²=5.76，BE•CE=3.2×1.8=5.76，
则AE²=BE•CE．
故选C

点评：此题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及相似三角形的判定与性质，由三角形的三边，利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形是本题的突破点．