Question

7．如图所示，AB是半圆形的直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交$\widehat{BC}$于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③∠COD=∠DAB；④∠COD=∠CDA，其中正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 ①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可；
②过点E作EF⊥AC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=EF，再根据直角三角形斜边大于直角边可证；
③根据半径OC⊥AB于点O可知$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，再由AD平分∠CAB交$\widehat{BC}$于点D可知$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，故可得出∠COD=2∠DAB；
④直接根据圆周角定理即可得出结论．

解答 解：①∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正确．
②过点E作EF⊥AC，
∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，
∴CE＞OE，
∴②错误；
③∵半径OC⊥AB于点O，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$．
∵AD平分∠CAB交$\widehat{BC}$于点D，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠COD=2∠DAB，故③错误；
④∵由③知，$\widehat{AC}$=2$\widehat{CD}$，
∴∠COD=∠CDA，故④正确．
故答案为：①②④．

点评 此题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中．