Question

14．（1）如图1，线段AD上一点B，分别以AB，BD为边在线段AD的同侧作等边△ABC，等边△BDE，连接AE，CD，求证：BI=BJ．
（2）如图2，将（1）中其他条件不变，若F，G分别是AE，CD的中点，连接GB，FB，求证：GF=GB．
（3）如图3，将（2）中其它条件不变，若A、B、D三点不在同一条直线时，第（2）中的结论成立吗？请先写出结论，然后证明．

Answer 1

分析 （1）利用SAS证明△CBD与△ABE全等，再证明△BDI与△BEJ全等即可；
（2）利用SAS证明△FCB与△GAB全等，再利用全等三角形的性质证明即可；
（3）利用SAS证明△ABE与△CBD全等，再利用SAS证明△GBE与△FBD全等，得出等边三角形GBF，即可得出．

解答 证明：（1）∵∠CBD=∠CBE+∠EBD=∠CBE+60°，∠ABE=∠CBE+∠ABC=∠CBE+60°，
∴∠CBD=∠ABE，
∵BD=BE，BC=AB，
在△CBD与△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}\\{∠CBD=∠ABE}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△ABE（SAS），
∴∠BDI=∠BEJ，
∵∠CBE=180°-∠CBA-∠DBE=180°-60°-60°=60°=∠EBD，
在△BDI与△BEJ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDI=∠BEJ}\\{∠CBE=∠EBD}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△BDI≌△BEJ（AAS），
∴BI=BJ；
（2）在△FCB与△GAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=AG}\\{∠FCB=∠GAB}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△FCB≌△GAB（SAS），
∴GB=FB；
（3）成立，理由如下：
∵∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE与△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB；
∵G，F分别为AE，CD的中点，
∴GE=FD，
在△GBE与△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{GE=FD}\\{∠AEB=∠CDB}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△GBE≌△FBD（SAS），
∴GB=BF，∠GBE=∠FBD，
∠GBE-∠FBE=∠FBD-∠FBE，
∴∠GBF=∠EBD=60°，
∴△GBF是等边三角形，
∴GF=GB．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用SAS证明三角形全等，利用全等三角形的性质进而证明．