Question

如图，在△ABC中∠BAC=90°，AB=AC=2，圆A的半径1，点O在BC边上运动（与点B，C不重合），设BO=x，△AOC的面积是y．
（1）求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）以点O为圆心，BO为半径作圆O，求当⊙O与⊙A相切时，△AOC的面积．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=2 ，
由勾股定理知BC==4，且∠B=∠C，
作AM⊥BC，
则∠BAM=45°，BM=CM=2=AM，
∵BO=x，则OC=4-x，
∴S_△AOC=OC•AM=×（4-x）×2=4-x，
即y=4-x （0＜x＜4）；

（2）①作AD⊥BC于点D，
∵△ABC为等腰直角三角形，BC=4，
∴AD为BC边上的中线，
∴AD==2，
∴S_△AOC=，
∵BO=x，△AOC的面积为y，
∴y=4-x（0＜x＜4），

②过O点作OE⊥AB交AB于E，
∵⊙A的半径为1，OB=x，
当两圆外切时，
∴OA=1+x，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴BE=OE=，
∴在△AEO中，AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，
∴（1+x）²=（2-）²+（）²，
∴x=，
∵△AOC面积=y=4-x，
∴△AOC面积=；
当两圆内切时，
∴OA=x-1，
∵AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，
∴（x-1）²=（2-）²+（）²，
∴x=，
∴△AOC面积=y=4-x=4-=，
∴△AOC面积为或．
分析：（1）由∠BAC=90°，AB=AC=2 ，根据勾股定理即可求得BC，且∠B=∠C，然后作AM⊥BC，由S_△AOC=OC•AM，即可求得y关于x的函数解析式；
（2）由⊙O与⊙A外切或内切，即可求得ON的值，继而求得△AOC的面积．
点评：此题考查了相切两圆的性质，三角形面积的求解方法，以及勾股定理的应用等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．