Question

9．如图，⊙O是等腰直角三角形ACB的内切圆，∠ACB=90°，AC=4，则⊙O的半径等于4-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由于等腰直角三角形与圆O相内切，所以可设切点为E、F，连接OE、OF，可证明四边形CEOF是正方形，利用切线长定理即可求出圆O的半径．

解答 解：设⊙O与等腰直角三角形相切于E、F、G，连接OE、OF，
∴∠CEO=∠CFO=90°，
又∵∠C=90°，OE=OF，
∴四边形CEOF是正方形，
设⊙O的半径为r，
∴CE=CF=r，
∴AE=BF=4-r，
由切线长定理可得：AG=AE=4-r，BG=BF=4-r，
由勾股定理可得：AB=4$\sqrt{2}$，
∴AG+BG=AB，
∴4-r+4-r=4$\sqrt{2}$，
∴r=4-2$\sqrt{2}$，
故答案为：4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形内切圆的性质，涉及等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理、切线长定理等知识，综合程度较高，属于中等题型．