Question

如图（1）直线GC∥HD，EF交CG、HD于A、B，三条直线把EF右侧的平面分成①、②、③三个区域，（规定：直线上各点不属于任何区域）．将一个透明的直角三角尺放置在该图中，使得30°角（即∠P）的两边分别经过点A、B，当点P落在某个区域时，连接PA、PB，得到∠PBD、∠PAC两个角．
（1）如图（1），当点P落在第②区域时，求∠PAC+∠PBD的度数；
（2）如图（2），当点P落在第③区域时，∠PAC-∠PBD=______度
（3）如图（3），当点P落在第①区域时，直接写出∠PAC、∠PBD之间的等量关系．

Answer 1

解：（1）过点P作PQ∥GC，∴∠PAC=∠APQ，∠BPQ=∠PBD，
∴∠PAC+∠PBD=∠APQ+∠QPB，
即∠PAC+∠PBD=∠P，
∵∠P=30°，
∴∠PAC+∠PBD=30°．
（2）∵GC∥HD，
∴∠EAC=∠EBD，
∵∠PAE=∠P+∠ABP，
∴∠PAC=∠PBD+∠P，
∴∠PAC-∠PBD=30°；
（3）∵GC∥HD，
∴∠1=∠PBD，
∵∠1=∠P+∠CAP，
∴∠PBD=∠PAC+∠P，
即∠PBD-∠PAC=∠P．
∴∠P=30°．

分析：（1）过点P作PQ∥GC，则由平行线的性质求出∠PAC+∠PBD=∠P，从而得出答案．
（2）由GC∥HD，得∠EAC=∠EBD，再由外角的性质得出∠PAE=∠P+∠ABP，从而得出∠PAC=∠PBD+∠P；
（3）由GC∥HD，得∠1=∠PBD，再由外角的性质得出∠1=∠P+∠CAP，从而得出∠PBD=∠PAC+∠P．
点评：本题考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握．