Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过B点作⊙O₁的切线交⊙O₂于D点，连接DA并延长，交⊙O₁于C点，连接BC，过A点作AE∥BC交⊙O₂于E，交BD于F，若AC=2，AD=4，AF=2，求EF的长．

Answer 1

分析：根据题意，连接AB，易证△ABC∽△FDE，得出

AC

BC

=

EF

DE

，代入各数据即可求出EF的长．

解答：解：连接AB．（1分）
∵AE∥BC，
∴

AD

CD

=

AF

BC

，即

4

2+4

=

2

BC

，
∴BC=3．  （3分）
由AE∥BC，得∠DAE=∠C，
∵BD切⊙O₁于B点，AB为两圆公共弦，
∴∠C=∠ABD=∠E．
∴∠DAE=∠E．
∴DE=AD=4．   （5分）
由AE∥BC，得∠ABC=∠BAE=∠FDE
在△ABC和△FDE中，
∵∠C=∠E，∠ABC=∠FDE
∴△ABC∽△FDE．  （7分）
∴

AC

BC

=

EF

DE

．
∴EF=

AC•DE

BC

=

2×4

3

=

8

3

． （8分）

点评：连接两个圆的公共弦是常用的辅助线的作法，本题主要考查的是相似三角形的判定和性质的灵活应用．