Question

你能求（x-1）（x²⁰¹⁰+x²⁰⁰⁹+x²⁰⁰⁸+x²⁰⁰⁷…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：
①（x-1）（x+1）=x²-1；    
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；…
（1）由此我们可以得到：
①（x-1）（x²⁰¹⁰+x²⁰⁰⁹+x²⁰⁰⁸+x²⁰⁰⁷…+x+1）=

 

；
②2⁴⁹+2⁴⁸+2⁴⁷+2⁴⁶…+2+1=

 

．
（2）请你利用上面的结论，完成下面的计算：
x[（x+1）²⁰¹⁰+（x+1）²⁰⁰⁹+（x+1）²⁰⁰⁸+（x+1）²⁰⁰⁷…+（x+1）+1]．

Answer 1

考点：整式的混合运算

专题：规律型

分析：（1）①根据已知等式得出规律，即可得到结果；
②原式变形后，根据已知等式得出规律，即可得到结果；
（2）原式变形后，根据已知等式得出规律，即可得到结果．

解答：解：（1）根据题意得：①（x-1）（x²⁰¹⁰+x²⁰⁰⁹+x²⁰⁰⁸+x²⁰⁰⁷…+x+1）=x²⁰¹¹-1；
②2⁴⁹+2⁴⁸+2⁴⁷+2⁴⁶…+2+1=（2-1）（2⁴⁹+2⁴⁸+2⁴⁷+2⁴⁶…+2+）=2⁵⁰-1；
（2）根据题意得：x[（x+1）²⁰¹⁰+（x+1）²⁰⁰⁹+（x+1）²⁰⁰⁸+（x+1）²⁰⁰⁷…+（x+1）+1]
=[（x+1）-1][（x+1）²⁰¹⁰+（x+1）²⁰⁰⁹+（x+1）²⁰⁰⁸+（x+1）²⁰⁰⁷…+（x+1）+1]
=（x+1）²⁰¹¹-1．
故答案为：（1）①x²⁰¹¹-1；②2⁵⁰-1．

点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．