Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-$\frac{1}{3}$+b与x轴交于点A，与双曲线y=-$\frac{6}{x}$在第二象限内交于点B（-3，a）．
（1）求a和b的值；
（2）过点B作直线l平行x轴交y轴于点C，若点P是x轴上的一点，当△BPC周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点D在第二象限双曲线上运动，满足S_△ABD=S_△ABO，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把B（-3，a）代入反比例函数解析式可计算出a=2，得到B点坐标，然后把B点坐标代入y=-$\frac{1}{3}$x+b可计算出b的值；
（2）作C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于P，此时，△BPC周长最小，先求得C的对称点的坐标，然后利用待定系数法求得直线BC′的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-2，令y=0，则求得P的坐标；
（3）设D（x，-$\frac{6}{x}$），作DE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，先求得S_△AOB=3，然后根据S_△ABD=S_△ABF+S_梯形BDEF-S_△ADE=3，列出关于x的方程，解方程即可求得D的坐标．

解答 解：（1）把B（-3，a）代入y=-$\frac{6}{x}$得-3a=-6，解得a=2，
则B点坐标为（-3，2）
把B（-3，2）代入y=-$\frac{1}{3}$x+b得1+b=2，解得b=1；
（2）如图1，作C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于P，此时，△BPC周长最小，
∵B（-3，2），
∴C（0，2），
∴C′（0，-2），
设直线BC′的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3m+m=2}\\{n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{4}{3}}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC′的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-2，
令y=0，则求得x=-$\frac{3}{2}$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，0）；
（3）如图2，设D（x，-$\frac{6}{x}$），作DE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
∵由直线y=-$\frac{1}{3}$x+1可知A（3，0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
∴S_△ABD=S_△ABF+S_梯形BDEF-S_△ADE=3或S_△ABD=S_梯形BDEF+S_△ADE-S_△ABF=3，
即$\frac{1}{2}$×6×2+$\frac{1}{2}$（-x-3）（-$\frac{6}{x}$+2）-$\frac{1}{2}$（3-x）（-$\frac{6}{x}$）=3或$\frac{1}{2}$（3+x）（-$\frac{6}{x}$+2）+$\frac{1}{2}$（3-x）（-$\frac{6}{x}$）-$\frac{1}{2}$×6×2=3，
整理得，x²=18或x²-6x-18=0
∵x＜0，
∴x=-3$\sqrt{2}$或x=3-3$\sqrt{3}$
∴D（-3$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）或（3-3$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，轴对称-最短路线问题，三角形的面积等，反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．