【题目】如图,在中,点是边上的一个动点,过点作直线,设交的角平分线于点,交的外角平分线于点.
(1)求证:;
(2)当点运动到何处时,四边形是矩形?并证明你的结论.
(3)当点运动到何处,且满足什么条件时,四边形是正方形?并说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)当点运动到的中点时,四边形是矩形,理由详见解析;(3)当点运动到的中点时,且满足为直角的直角三角形时,四边形是正方形,理由详见解析.
【解析】
(1)由平行线的性质和角平分线的定义得出,, 得出,,即可得出结论;
(2)先证明四边形是平行四边形,再由对角线相等,即可得出结论;
(3)由正方形的性质得出,得出即可.
(1),
,
又平分,
,
,
,
同理:,
.
(2)当点运动到的中点时,四边形是矩形.
当点运动到的中点时,,
又,
四边形是平行四边形,
由(1)可知,,
,
,即,
四边形是矩形.
(3)当点运动到的中点时,且满足为直角的直角三角形时,四边形是正方形.
由(2)知,当点运动到的中点时,四边形是矩形,
,
,
,
,
四边形是正方形.
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【题目】如图1是一个长为、宽为的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2)
(1)观察图2请你写出之间的等量关系是________;
(2)根据(1)中的结论,若,则________;
(3)拓展应用:若,求的值.
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【题目】如图,已知平面直角坐标系中,A点坐标为(﹣4,4),B(﹣4,0)C(1,3),解答下列各题:
(1)按题中所给坐标在图中画出△ABC并直接写出△ABC的面积;
(2)画出△ABC先向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度的△A'B'C',并直接写出A',B′,C'的坐标;
(3)直接写出△ABC按照(2)问要求平移到△A'B'C'的过程中,△ABC所扫过的图形的面积.
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【题目】如图,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°.
(1) 请你判断DA与CE的位置关系,并说明理由;
(2) 若DA平分∠BDC,CE⊥AE于点E,∠1=70°,试求∠FAB的度数.
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【题目】(1)如图1,在四边形中,,、分别是、的中点,连接并延长,分别与、的延长线交于点、,证明:.
请将证明的过程填写完整:
证明:连接,取的中点,连接、.
是的中点,是的中点,
________,_______,同理:_______,_______,
,,
又,,,.
(2)运用上题方法解决下列问题:
问题一:如图2,在四边形中,与相交于点,,、分别是、的中点,连接,分别交、于点、,请判断的形状,并说明理由;
问题二:如图3,在钝角中,,点在上,、分别是、的中点,连接并延长,与的延长线交于点,连接,若,是直角三角形且,求证:.
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【题目】如图,一个三角形的纸片ABC,其中∠A=∠C,
(1)把△ABC纸片按 (如图1) 所示折叠,使点A落在BC边上的点F处,DE是折痕.说明 BC∥DF;
(2)把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCED内时 (如图2),探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系,并说明理由;
(3)当点A落在四边形BCED外时 (如图3),探索∠C与∠1、∠2之间的大小关系.(直接写出结论)
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【题目】(1)如图1,等腰和等腰中,,,,三点在同一直线上,求证:;
(2)如图2,等腰中,,,是三角形外一点,且,求证:;
(3)如图3,等边中,是形外一点,且,
①的度数为 ;
②,,之间的关系是 .
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