Question

10．观察下面一组等式：
①$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}}$．②$\sqrt{2-\frac{2}{5}}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$．③$\sqrt{3-\frac{3}{10}}$=3$\sqrt{\frac{3}{10}}$．④$\sqrt{4-\frac{4}{17}}$=4$\sqrt{\frac{4}{17}}$，…，按上述规律．
（1）写出第5个等式；
（2）猜想第n个等式，并给予验证．

Answer 1

分析 （1）根据前四个等式的规律解答；
（2）根据题意总结规律，根据二次根式的性质证明即可．

解答 解：（1）第5个等式：$\sqrt{5-\frac{5}{26}}$=5$\sqrt{\frac{5}{26}}$；
（2）第n个等式：$\sqrt{n-\frac{n}{{n}^{2}+1}}$=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}+1}}$，
证明：$\sqrt{n-\frac{n}{{n}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{3}+n}{{n}^{2}+1}-\frac{n}{{n}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{{n}^{2}+1}}$=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}+1}}$．

点评 本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．