Question

20．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于点P（m，n），若点Q（2-m，n-1），则称点Q为点P的“δ点”．例如：点（-2，5）的“δ点”坐标为（4，4）．
（1）某点的“δ点”的坐标是（-1，3），则这个点的坐标为（3，4）；
（2）若点A的坐标是（2-m，n-1），点A的“δ点”为A₁点，点A₁的“δ点”为A₂点，点A₂的“δ点”为A₃点，…，点A₁的坐标是（m，n-2）；点A₂₀₁₅的坐标是（4-m），n-2016）；
（3）函数y=-x²+2x（x≤1）的图象为G，图象G上所有点的“δ点”构成图象H，图象G与图象H的组合图形记为“图形Ю”，当点（p，q）在“图形Ю”上移动时，若k≤p≤1+2$\sqrt{2}$，-8≤q≤1，则k的取值范围是-2≤k≤1．

Answer 1

分析 （1）设这个点坐标为（m，n），根据“δ点”的定义，列出方程即可解决问题．
（2）从特殊到一般，先探究规律，利用规律即可解决问题．
（3）画出图象，图象G的解析式为y=-x²+2x，（x≤1），图象H的解析式为y=-（x-1）²，（x≥1），对于函数y=-x²+2x，当y=-8时，-x²+2x=-8，解得x=-2或8（舍弃），当y=1时，-x²+2x=1，解得x=1，观察图象，即可解决问题．

解答 解：（1）设这个点坐标为（m，n），
∵这个点的“δ点”的坐标是（-1，3），
∴2-m=-1，n-1=3，
∴m=3，n=4，
∴这个点的坐标为（3，4），
故答案为（3，4）．

（2）由题意A₁（m，n-2），A₂（m-2，n-3），A₃（4-m，n-4），A₄（m-2，n-5），A₅（4-m，n-6），…
由此规律可知A₂₀₁₅（4-m，n-2016）．
故答案分别为（m，n-2），（4-m，n-2016）．

（3）如图，由题意图象G的解析式为y=-x²+2x，（x≤1），图象H的解析式为y=-（x-1）²，（x≥1）

对于函数y=-x²+2x，当y=-8时，-x²+2x=-8，
解得x=-2或8（舍弃），
∴x=-2，
当y=1时，-x²+2x=1，解得x=1，
∵当点（p，q）在“图形Ю”上移动时，若k≤p≤1+2$\sqrt{2}$，-8≤q≤1，
∴由图象可知，-2≤k≤1．
故答案为-2≤k≤1．

点评 本题考查二次函数综合题、解题的关键是理解题意，学会从特殊到一般探究规律，利用规律解决问题，学会利用图象解决问题，属于中考压轴题．