将直角边长为6的等腰直角△AOC放在平面直角坐标系中.点O为坐标原点.点C.A分别在x轴.y轴的正半轴上.一条抛物线经过点A.C及点B．(1)求该抛物线的解析式,(2)若点P是线段BC上一动点.过点P作AB的平行线交AC于点E.连接AP.当△APE的面积最大时.求点P的坐标,在抛物线上.则称点P为抛物线的不动点.将(1)中的抛物线进行平移.平移后.该抛物线只有一个不动点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

5．

将直角边长为6的等腰直角△AOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x轴，y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点，将（1）中的抛物线进行平移，平移后，该抛物线只有一个不动点，且顶点在直线y=2x-$\frac{7}{4}$上，求此时抛物线的解析式．

分析（1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，所以设抛物线方程为两点式：y=a（x+3）（x-6），然后把点A的坐标代入该函数解析式即可求得系数a的值；
（2）利用相似三角形的性质得出S_△PCE=$\frac{（m-6）^{2}}{3}$，进而求出△APE的面积S，即可得出点P坐标；
（3）利用抛物线上不动点的定义以及不动点的个数得出方程h-k=$\frac{3}{4}$①，再用平移后的抛物线的顶点在直线y=2x-$\frac{7}{4}$上，得出方程k=2k-$\frac{7}{4}$②，联立解方程组即可．

解答解：（1）∵B（-3，0），C（6，0），设抛物线为y=a（x+3）（x-6），过A（0，6）
∴6=a（0+3）（0-6），
解得a=-$\frac{1}{3}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$（x+3）（x-6），
即y=-$\frac{1}{3}$x²+x+6；
（2）设P（m，0），
如图，

∵PE∥AB，
∴△PCE∽△BCA，
∴$\frac{{S}_{△PCE}}{{S}_{△BCA}}=\frac{P{C}^{2}}{B{C}^{2}}$，
$\frac{{S}_{△PCE}}{27}=\frac{（m-6）^{2}}{81}$，
∴S_△PCE=$\frac{（m-6）^{2}}{3}$，
∴S=S_△APC-S_△PCE=-$\frac{1}{3}$m²+m+6，
=-$\frac{1}{3}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S有最大值为$\frac{27}{4}$；
∴P（$\frac{3}{2}$，0）；
（3）设平移后的抛物线的顶点为G（h，k），
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x-h）²+k，
由抛物线的不动点的定义，得，t=-$\frac{1}{3}$（t-h）²+k，
即：t²+（3-2h）t+h²-3k=0，
∵平移后，抛物线只有一个不动点，
∴此方程有两个相等的实数根，
∴△=（3-2h）²-4（h²-3k）=0，
∴h-k=$\frac{3}{4}$①，
∵顶点在直线y=2x-$\frac{7}{4}$上，
∴k=2k-$\frac{7}{4}$②，
∴联立①②得，h=1，k=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x-1）²+$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{12}$，

点评此题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质和判定，函数的极值，新定义及一元二次方程根的情况，解本题的关键是理解新定义，是一道中等难度的题目．

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