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    20．已知矩形OABC在如图所示平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，3），连接AC．动点P从点B出发，以2cm/s的速度，沿直线BC方向运动，运动到C为止（不包含B、C两点），过点P作PQ∥AC交线段BA于点Q，以PQ为边向下作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形面积为S（cm2），设点P的运动时间为t（s）．
    （1）请用含t的代数式表示N点的坐标；
    （2）求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；
    （3）如图②，点G在边OC上，且OG=1cm，在点P从点B出发的同时，另有一动点E从点O出发，以2cm/s的速度，沿x轴正方向运动，以OG、OE为一组邻边作矩形OEFG．请直接写出当点F落在正方形PQMN的内部（不含边界）时t的取值范围．

    分析 （1）作NH⊥BC于点H，根据△BPQ∽△BCA，利用相似三角形的对应边的比相等求得BQ，然后证明△BPQ≌△HNP，则BH以及HN的长即可利用t表示，则N的坐标即可求解；
    （2）首先求出MN在AC上时t的值，然后分两种情况进行讨论，利用矩形的面积公式即可求解；
    （3）求得AC的解析式，然后根据PQ∥AC，MN∥AC即可求得PQ和MN的解析式，F的坐标是（2t，1），把F的坐标分别代入PQ和MN的解析式即可求解

    解答 解：（1）作NH⊥BC于点H．
    ∵PQ∥CA，
    ∴△BPQ∽△BCA，
    ∴$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，即$\frac{2t}{4}=\frac{BQ}{3}$，
    解得：BQ=$\frac{3}{2}$t，
    ∵在△BPQ和△HNP，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠NHP}\\{∠HPN=∠BQP}\\{PN=QP}\end{array}\right.$，
    ∴△BPQ≌△HNP，
    ∴HP=BQ=$\frac{3}{2}$t，NH=BP=2t，
    则BH=2t+$\frac{3}{2}$t=$\frac{7}{2}$t，
    则N点坐标（4-$\frac{7}{2}$t，3-2t）；
    （2）当MN在AC上时，如图②．
    ∵△BPQ∽△BCA，
    ∴$\frac{BP}{BC}=\frac{PQ}{AC}$，即$\frac{2t}{4}=\frac{PQ}{5t}$，
    解得：PQ=$\frac{5}{2}$t，
    当MN在AC上时，PN=PQ=$\frac{5}{2}$t，
    △ABC∽△PNC，即$\frac{PN}{AB}=\frac{CP}{AC}$，即$\frac{\frac{5}{2}t}{3}=\frac{4-2t}{5}$，
    解得：t=$\frac{24}{37}$．
    则S=$\frac{25}{4}$t2．
    其中，0≤t≤$\frac{24}{37}$．
    当t＞$\frac{24}{37}$时，设PN交AC于点E，如图③．
    则△ABC∽△PEC，则$\frac{PE}{AB}=\frac{CP}{AC}$，即$\frac{PE}{3}=\frac{4-2t}{5}$，解得：PE=$\frac{12-6t}{5}$，
    则S=-3t2+6t．
    其中，$\frac{24}{37}$＜t≤2．
    （3）设AC的解析式是y=kx+b，
    则$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
    则设直线MN的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x+3，
    则-$\frac{3}{4}$（4-$\frac{7}{2}$t）+c=3-2t，
    解得：c=6-$\frac{37}{8}$t，
    则直线的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+（6-$\frac{37}{8}$t）．
    同理，直线PQ的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+（$\frac{25}{3}$-$\frac{8}{3}$t），
    F的坐标是（2t，1）．
    当点F落在MN上时，
    t=$\frac{40}{49}$．
    当点F落在PQ上时，
    ∴t=$\frac{5}{3}$． 
    ∴$\frac{40}{49}$＜t＜$\frac{5}{3}$

    点评 此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，以及全等三角形的判和性质，待定系数法，正确求得MN在AC上时对应的t的值是关键．是一道中等难度的中考常考题．

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