Question

11．如图，在平面直角坐标系中，己知点A（5，0），B（4，4）
（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求一点P（不同于点B），使S_△PAO=S_△ABO，请直接写出点P的坐标；
（3）在位于线段OB上方的抛物线上有一动点M，其横坐标为t，求△OBM的面积S和t的函数关系式；
（4）t为何值时，S_△OBM=$\frac{3}{5}$S_△ABO．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）先求出△ABO的面积，再用面积公式建立方程求解即可；
（3）利用坐标系中求三角形面积的方法即可得出结论；
（4）借助（1）知，△ABO的面积为10，进而求出△OBM的面积，第一种情况，借助（3）结论求出点M在直线OB上方时的t，再利用对称即可得出点M在OB下方的时间t．

解答 解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，0），
∴设抛物线的解析式为y=ax（x-5），
∵抛物线过点B（4，4），
∴4=a×4×（4-5），
∴a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x（x-5）=-x²+5x，
（2）∵A（5，0），
∴OA=5，
∵B（4，4），
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$OA×|y_B|=$\frac{1}{2}$×5×4=10，
设P（m，-m²+5m），
∴S_△PAO=$\frac{1}{2}$OA×|y_B|=$\frac{1}{2}$×5×|-m²+5m|，
∵S_△PAO=S_△ABO，
∴$\frac{1}{2}$×5×|-m²+5m|=10，
∴m=$\frac{5±\sqrt{41}}{2}$或m=1或m=4（舍），
∴P（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，-4）或（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，-4）或（1，4）
（3）如图，过点M作MC⊥OA，交OB于C，∵B（4，4），
∴直线OB的解析式为y=x，
∵在位于线段OB上方的抛物线上有一动点M，其横坐标为t，
∴M（t，-t²+5t）
∴D（t，t）（0＜t＜4），），
∴DM=-t²+5t-t=-t²+4t，
∴S=S_△OBM=S_△MOD+S_△MBD=$\frac{1}{2}$（-t²+4t）×t+$\frac{1}{2}$（-t²+4t）×（4-t）=$\frac{1}{2}$（-t²+4t）（t+4-t）=2（-t²+4t）=-2t²+8t（0＜t＜4）；
（4）由（1）知，S_△ABO=10．
∵S_△OBM=$\frac{3}{5}$S_△ABO．
∴S_△OBM=$\frac{3}{5}$×10=6．
①点M在直线OB上方时（0＜t＜4），由（3）知，S=S_△OBM=-2t²+8t=6，
∴t=1或t=3，
②点M在直线OB下方时（t＜0或t＞4），
由①知，当t=1时，M（1，4），
∵直线OB的解析式为y=x，
∴过点M平行于OB的直线l的解析式为y=x+3，
∴在直线OB下方，到直线OB的距离等于直线OB与直线l间的距离的直线为y=x-3①，
∵抛物线的解析式为y=-x²+5x②，
联立①②解得，x=2±$\sqrt{7}$，
∴t=2+$\sqrt{7}$或2-$\sqrt{7}$，
即：满足条件的t的值为1或3或2+$\sqrt{7}$或2-$\sqrt{7}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算方法，对称的性质，解本题的关键是掌握平面坐标系中三角形的面积的计算方法，是一道比较简单的题目．