Question

（1）如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
（2）若（1）中∠AOB=α°，其它条件不变，求∠MON的度数．
（3）若（1）中∠BOC=β°（β为锐角），其它条件都不变（∠AOB仍是90°），求∠MON的度数．
（4）从（1）（2）（3）的结果中能看出什么规律？

Answer 1

解：（1）因为∠AOB=90°，∠BOC=30°，
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°．
又OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠COM=∠AOC=×120°=60°，
∠CON=∠BOC=×30°=15°．
所以∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°；
（2）因为∠AOB=a°，∠BOC=30°，
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=a°+30°．
又OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠COM=∠AOC=（a°+30°），
∠CON=∠BOC=×30°=15°．
所以∠MON=∠COM-∠CON=（a°+30°）-15°=a°．
（3）因为∠AOB=90°，∠BOC=β，所以∠AOC=90°+β，
又OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠COM=∠AOC=（90°+β），∠CON=∠BOC=β．
所以∠MON=∠COM-∠CON=（90°+β）-β=45°．
（4）从（1）（2）（3）的结果中可以看出∠MON=∠AOB，而与∠BOC的大小无关．
分析：（1）先计算出∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，再根据角平分线的定义得到∠COM=∠AOC=×120°=60°，∠CON=∠BOC=×30°=15°，然后利用
∠MON=∠COM-∠CON进行计算；
（2）先计算出∠AOC=∠AOB+∠BOC=a°+30°，再根据角平分线的定义得到∠COM=∠AOC=（a°+30°），∠CON=∠BOC=×30°=15°，然后利用
∠MON=∠COM-∠CON进行计算；
（3）先得到∠AOC=90°+β，再根据角平分线的定义得到∠COM=∠AOC=（90°+β），∠CON=∠BOC=β，然后利用
∠MON=∠COM-∠CON进行计算；
（4）利用前面计算的结论得到∠MON=∠AOB．
点评：本题考查了角的计算：利用几何图形计算几个角的和或差．也考查了角平分线的定义．