Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．

Answer 1

证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，
则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，
∴∠MCB=∠B，
∵CD平分∠ACB，∠C=90°，
∴∠BCD=×90°=45°，
∴∠MCD=∠MCB-45°=∠B-45°，
又∵∠DEM=∠BEC=180°-∠B-45°=135°-∠B，
∴∠D=90°-∠DEM=∠B-45°，
∴∠D=∠MCD，
∴MD=MC，
∴MD=AM．
分析：连接CM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=MB，根据等边对等角的性质求出∠MCB=∠B，然后表示出∠MCD，再利用MD⊥AB，∠DEM与∠BEC是对顶角，利用△BCE的角的关系表示出∠D，整理即可得到∠D=∠MCD，最后根据等角对等边的性质即可证明．
点评：本题考查了角平分线的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形内角和定理，作出辅助线构造出与∠D相等的角∠MCD是解题的关键，难度中等．