Question

已知x、y、z都不小于0，且满足3y+2z=3-x及3y+z=4-3x，求函数u=3x-2y+4z的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数最值问题

专题：计算题

分析：解关于y与z的方程组

3y+2z=3-x① 3y+z=4-3x②

，得z=2x-1，y=-

5

3

x+

5

3

，再利用x、y、z都不小于0得到

x≥0 2x-1≥0 - 5 3 x+ 5 3 ≥0

，解不等式组可确定x的取值范围

1

2

≤x≤1，
然后把z=2x-1，y=-

5

3

x+

5

3

代入u=3x-2y+4z得到关于u与x的一次函数关系u=

43

3

x-

22

3

（

1

2

≤x≤1），再利用一次函数的性质确定u的最大和最小值．

解答：解：

3y+2z=3-x① 3y+z=4-3x②

，
①-②得z=2x-1③，
把③代入②得3y+2x-1=4-3x，
所以y=-

5

3

x+

5

3

，
∵x、y、z都不小于0，
∴

x≥0 2x-1≥0 - 5 3 x+ 5 3 ≥0

，解得

1

2

≤x≤1，
∵u=3x-2y+4z=3x-2（-

5

3

x+

5

3

）+4（2x-1）
=

43

3

x-

22

3

，
∴当x=

1

2

时，u的值最小，最小值=

43

3

×

1

2

-

22

3

=-

1

6

；
当x=1时，u的值最大，最大值=

43

3

-

22

3

=7，
即函数u=3x-2y+4z的最大值与最小值分别为7，-

1

6

．

点评：本题考查了函数最值问题：熟练掌握一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的性质（当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小）．