Question

如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的直径AB和线段CE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理

专题：

分析：（1）首先延长CE交⊙O于点M，由CE⊥AB，根据垂径定理即可得

BC

=

BM

，又由C是弧BD的中点，即可证得

CD

=

BM

，然后由圆周角定理，证得∠1=∠2，即可证得CF=BF；
（2）由C是弧BD的中点，可得BC=CD=6，又由AB是⊙O的直径，即可证得∠ACB=90°，然后由勾股定理求得AB的长，然后利用三角形的面积，求得高CE的长．

解答：（1）证明：延长CE交⊙O于点M，
∵CE⊥AB，
∴

BC

=

BM

，
∵C是弧BD的中点，
∴

CD

=

BC

，
∴

CD

=

BM

，
∴∠1=∠2，
∴CF=BF；

（2）解：∵C是弧BD的中点，
∴BC=CD=6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，
∵CE⊥AB，
∴CE=

AC•BC

AB

=4.8．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．