Question

3．如图，AB为⊙O的弦，半径OE，OF分别交AB于点C，D，且OC=OD，求证：$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$．

Answer 1

分析 过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．根据等腰三角形的性质得到∠COG=∠DOG，求得$\widehat{EH}$=$\widehat{FH}$．由垂径定理得到$\widehat{AH}$=$\widehat{BH}$，于是得到结论．

解答 证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．
∵OC=OD，OG⊥CD于点G，
∴∠COG=∠DOG，
∴$\widehat{EH}$=$\widehat{FH}$．
又∵OG⊥AB于点G，
∴$\widehat{AH}$=$\widehat{BH}$，
∴$\widehat{AH}$-$\widehat{EH}$=$\widehat{BH}$-$\widehat{FH}$，
即$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$．

点评 本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质．解答本题时，通过作辅助线OH构建等弧是解题的关键．